mercoledì 12 maggio 2010

Un percorso storico tra Numeri e Geometria - Parte 20: Oresme, serie numeriche e fine del medioevo

Nell’ultima puntata abbiamo parlato della rinascita culturale nell'Europa occidentale del XIII secolo, dovuta in parte anche alle molteplici traduzioni dall’arabo al latino sia di opere islamiche che di opere del mondo greco antico, come gli Elementi di Euclide.
Spostandoci poi nel XIV secolo abbiamo visto che per la prima volta si cominciarono a prendere in considerazione le somme di un numero infinito di addendi, attualmente denominate serie numeriche.
Questo fu il primo passo verso la liberazione da quell'horror infiniti che aveva caratterizato tutta la cultura greca antica. Liberazione che aprirà innumerevoli nuovi percorsi di sviluppo matematico.
Seguendo l'intuito qualcuno potrebbe obiettare: che interesse ha considerare le somme di un numero infinito di addendi? Il risultato non è sempre infinito? No, non lo è. E Richard Swineshead ("The Calculator") se ne accorse intorno al 1350.
Swineshead si accorse che oltre alle cosiddette serie divergenti, quelle cioè che crescono illimitatamente, esistono anche le somme di infiniti addendi che anti-intuitivamente danno come risultato un numero finito, oggi denominate serie convergenti. Per completezza bisogna aggiungere che oltre a quelle convergenti e divergenti esiste anche un terzo tipo di serie che non sono né convergenti né divergenti e che sono dette indeterminate.
Un'altra domanda a questo punto potrebbe essere: se le somme di infiniti addendi possono avere come risultato un numero finito, non potremmo riconsiderare l'antico e celeberrimo paradosso di Achille e la tartaruga alla luce di questa nuova scoperta? Effettivamente sì! Esiste infatti una sorta di confutazione in cui si dimostra che i piccoli avanzamenti accumulati dalla tartaruga sulla veloce corsa di Achille, anche se in numero infinito, danno come risultato una somma finita. Ne consegue quindi che Achille raggiungerà la tartaruga in un tempo finito.

Come abbiamo visto Richard Swineshead fu quindi il pioniere delle serie numeriche, ma colui che più contribuì ad elaborare gli sviluppi iniziali di questa nuova idea fu principalmente Nicole Oresme.
Che tra le altre cose fu anche il primo a dimostrare che la famosa serie armonica è divergente, e cioè che non ha come risultato un numero finito, ma cresce illimitatamente.

Oresme (1323 – 1382), come altri illustri matematici, si interessò anche di questioni musicali. Compì ad esempio degli studi sulle scale e, superando i limiti della scala pitagorica, basata su rapporti razionali come 8/9, 1/2, 3/4 e 2/3, fornì gli strumenti per generare il temperamento equabile più di due secoli prima di Vincenzo Galilei e di Simon Stevin.
Parrebbe che proprio da questi studi musicali Oresme sviluppò l'idea di elaborare un metodo di calcolo delle potenze con esponenti non interi. Nel temperamento equabile infatti le distanze tra i semitoni (tasto bianco e successivo tasto nero del pianoforte) sono rappresentate dalla radice dodicesima di due:
\sqrt[12]{2} E ad esempio la quarta giusta è correlata al numero
\sqrt[12]{2^5} che può anche essere rappresentato con 25/12.

Con questa puntata siamo giunti in prossimità della fine di un'epoca storica: il medioevo. Abbiamo visto come nell'Europa cristiana si passò gradualmente dall'infimo livello del VII secolo, in cui si poteva sentire soltanto il graffiare della penna del Venerabile Beda, fino ai notevoli progressi cominciati nel periodo della Scolastica e proseguiti nei secoli XIII e XIV soprattutto ad opera di Fibonacci e Oresme. Progressi che comunque non erano nemmeno lontanamente paragonabili alle conquiste matematiche realizzate dagli antichi greci.

Subito dopo Oresme la matematica nell'Europa occidentale entrò di nuovo in una fase di declino. Una delle cause fu sicuramente la catastrofica epidemia di peste (la famosa peste nera) che imperversò per tutta l'Europa tra il 1347 e il 1352 uccidendo almeno un terzo della popolazione del continente e che comportò ovviamente gravi perdite anche sul piano intellettuale. Inoltre l'Inghilterra e la Francia, che avevano conquistato una posizione egemone nella matematica del XIV secolo, furono ulteriormente devastate nel XV secolo dalla Guerra dei Cent'Anni e dalla Guerra delle Due Rose. Conseguentemente le università italiane, tedesche e polacche del XV secolo ereditarono dalla Scolastica di Oxford e Parigi la guida nel campo della matematica.

Nella prossima puntata parleremo della fine del medioevo e dell'inizio del rinascimento.

Indice della serie

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