lunedì 28 giugno 2010

Tetralogia logica

La mia tetralogia logica è stata pubblicata su Matem@ticaMente.
L'articolo viene generosamente recensito in questo modo.

Cari lettori,

pubblico un secondo contributo, tratto dal Carnevale della Matematica n.26, tra i pezzi che mi hanno colpito particolarmente. Si tratta di una interessantissima tetralogia sulla logica dal titolo "Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale?".

L'originale contributo quadripartito si giova di una serie di dialoghi immaginari, che si svolgono tra personaggi storici di eccellenza. Nella prima parte i protagonisti sono Aristotele e Diodoro Crono.

Nella seconda parte sono presentate alcune quartine, le "Rubʿayyāt" di ʿOmar Ḫayyām, in cui sono descritti i sogni e i deliri del matematico persiano Avicenna intento a dialogare con Aristotele.

Nella terza parte, mediante il duetto dialogico tra Leibiniz e Voltaire, viene considerata la "previsione" dei Maya sulla fine del mondo secondo le convinzioni della logica occidentale che, tra il 1600 e il 1700, era ai suoi albori.

Nella quarta e ultima parte, la succitata "previsione" è esaminata, tenendo conto del rivoluzionario pensiero di  Frege e Russell.

Ma mi  fermo qui, invitandovi a leggere l'accattivante tetralogia partorita dall'immaginazione di Dioniso. L'ho assemblata in un unico documento, scaricabile in versione pdf e consultabile in modalità fullscreen nel widget di Issuu (cliccare al centro del widget).

lunedì 14 giugno 2010

Carnevale della Matematica #26: Russell e la logica (quasi una monografia)

"Uomo di sani Principia, tra una moglie e l'altra spedi paradossalmente una tazza di tè nello spazio."

E' questa la biografia essenziale di Bertrand Russell, che Gianluigi Filippelli propone per introdurre il tema non obbligatorio proposto per il Carnevale numero 26: Russell e la logica.
"La motivazione del tema è dovuta al recente compleanno dello zio Bertrand, nato il 18 maggio 1872, quindi in una data compresa tra questo e il Carnevale precedente, ospitato dalla grandissima Annarita Ruberto".

Il mio contributo viene introdotto Gianluigi (che ringrazio per la bella recensione) in questo modo:

Dioniso, per l'occasione del tema, interrompendo il suo classico percorso storico tra i numeri e ci propone una bellissima tetralogia logica scritta attraverso una serie di dialoghi immaginari dal titolo Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale?: nella prima parte protagonisti sono Aristotele e Diodoro Crono; nella seconda parte vengono presentate alcune Rubʿayyāt di ʿOmar Ḫayyām(1), ovvero delle quartine dove vengono descritti i sogni/incubi di Avicenna, logico e matematico persiano, nei quali il nostro dialoga fittamente con Aristotele; nella terza parte protagonisti sono Leibiniz e Voltaire in un testo attribuito a Pierre Beaumarchais dove si esamina l'affermazione Maya sulla fine del mondo alla luce delle novità logiche di quel periodo, fine 1600 inizi 1700, quando la logica occidentale inizia veramente a muovere i primi passi; nella quarta e ultima parte dove, prendendo spunto dalle rivoluzioni introdotte da Frege e Russell(2) (e dalla sua scuola) esamina con i metodi e le notazioni della logica della prima metà del XX secolo l'affermazione incriminata (e quelle che poi i soliti folli giornalisti non smettono di disseminare in giro per il mondo).
Nel complesso una tetralogia veramente molto bella, quasi quanto le famose tetralogie di Leonardo Ortolani su RatMan Collection, che ha il pregio, nonostante i dialoghi siano nei fatti frutto dell'immaginazione di Flavio, di sintetizzare al meglio il pensiero logico dei protagonisti. Da non perdere!


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mercoledì 9 giugno 2010

Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - quarta parte

Nella puntata precedente abbiamo visto che l'idea leibniziana dei mondi possibili ci è stata utile per la comprensione della questione Maya. Ci chiedevamo inoltre che cosa significa che le assiomatizzazioni della Logica modale vennero inquadrate in ambito più logico matematico?

La Logica matematica come disciplina indipendente dalla Logica tradizionale nasce nella seconda metà del XIX secolo. Si parte in qualche modo ancora una volta dalla Logica aristotelica ponendosi però in una prospettiva molto più formale e inquadrando il linguaggio delle Logica in un contesto molto vicino a quello dell'algebra astratta. Questa nuova disciplina parve presto molto adatta per indagare quelle questioni dei fondamenti della Matematica che da qualche tempo turbavano i sonni di alcuni grandi matematici. Tanto che Gottlob Frege elaborò il progetto di poter costruire tutta la matematica a partire dalla logica, riducendo così la seconda alla prima.
Purtroppo però, dopo anni di studi e pubblicazioni, gli ambiziosi progetti di Frege si infransero contro una lettera di Bertrand Russell in cui il logico matematico inglese demoliva tutto il lavoro di Frege con un solo semplice paradosso mostrando così, con grande dispiacere di tutti, anche di Russel stesso, che la matematica non è riducibile alla logica. Si ripartì con il tentativo di Peano di ridurre tutta la matematica all'aritmetica, e quello di Russell che nei Principia Mathematica risolse i problemi contro i quali si era infranto il sogno di Frege.
La parola definitiva spettò tuttavia al giovanissimo Kurt Gödel, che nel 1931, a soli venticinque anni, pubblicò i suoi celeberrimi teoremi di incompletezza che provavano come nessun sistema logico finitamente assiomatizzabile potesse risolvere dentro di sé tutte le verità della matematica. O detto in altre semplificanti parole, non si possono catturare tutte le verità della matematica a partire da un numero finito di assiomi. Dunque l'idea di Euclide secondo cui a partire da pochi assiomi si possono derivare tutte le verità di un certo sistema risultò non applicabile all'intera matematica. Mentre in seguito si dimostrò (Tarski) che quell'idea continuava ad essere valida per sistemi più deboli, come appunto la Geometria euclidea, ma anche la Logica proposizionale. Invece nel momento in cui si aggiunge l'Aritmetica, così come la intendiamo comunemente, intervengono i teoremi di Gödel a rendere inapplicabile l'idea euclidea.

Ma questo discorso esula un po' dal nostro scopo e meriterebbe sicuramente uno o più capitoli di approfondimento che molto probabilmente saranno presenti tra gli articoli del Carnevale della Matematica numero 26 del 14 giugno 2010.

Per tornare al nostro discorso sulla Logica modale inquadrata nell'ambito logico matematico possiamo partire dalla considerazione che la Logica modale è un'estensione della Logica proposizionale. Qui qualcuno potrebbe chiedersi: e che cos'è la Logica proposizionale?

La Logica proposizionale come la maggior parte dei sistemi di Logica matematica è costituita da una parte sintattica ed una parte semantica.
La parte sintattica è quella che si occupa di definire la corretta struttura delle proposizioni; e nella quale si include di solito anche l'apparato deduttivo che definisce gli assiomi e le regole che consentono di dedurre i teoremi a partire dagli assiomi.
Mentre la parte semantica, che risulta di solito più semplice ed intuitiva, è quella che si occupa di definire il significato dei simboli.
Pertanto, volendo partire da un esempio con la nostra proposizione Maya, indicheremo con:

M la proposizione Maya: "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B la proposizione del buco nero: "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero"
G la proposizione della guerra nucleare: "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare"

Nella Logica matematica si usa il simbolo "¬" per indicare la negazione di una proposizione. Nel nostro caso pertanto ¬M rappresenterà la proposizione non Maya. I simboli "→" e "∧" rappresentano invece rispettivamente l'implicazione la congiunzione. Ad esempio nel nostro caso:

B → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
G → M si tradurrebbe con: se "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"
B ∧ G → M si tradurrebbe con: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" e "Il 20 dicembre 2012 scoppierà una guerra nucleare" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

A questo punto possediamo tre proposizioni composte secondo le regole della sintassi proposizionale:
B → M, G → M e B ∧ G → M. E potremmo trattarle come pure sequenze di simboli prive di significato e manipolarle attraverso le regole di una qualche apparato deduttivo rimanendo così nell'ambito sintattico.
Oppure, come abbiamo fatto qui sopra, potremmo attribuire un significato alle formule e cercare di assegnar loro un valore di verità: cioè capire se esse sono vere o false. E in questo caso ci troveremmo nel dominio della semantica della Logica proposizionale.
Ma come facciamo ad asserire che B → M è vera? Siamo sicuri che l'eventuale buco nero prodotto al CERN inghiottirebbe la Terra? Una domanda simile potremmo porcela per la guerra nucleare (G → M) e per la concomitanza dei due eventi (B ∧ G → M): siamo sicuri che sterminerebbero il genere umano?.

Potremmo considerare ad esempio che a seconda della microscopicità e della instabilità del buco nero o a seconda della violenza e dell'estensione della guerra potrebbero verificarsi esiti diversi. È qui che entra in gioco la Logica modale con la sua semantica, che Saul Kripke definì nel 1959 a soli 19 anni basandosi sul concetto Leibniziano dei mondi possibili.
La semantica di Kripke definisce matematicamente il concetto di mondo possibile e poi definisce una proposizione M come necessariamente vera, in simboli M, quando essa è vera in tutti i mondi possibili e come possibilmente vera, in simboli M, quando essa è vera in almeno un mondo possibile.
Usando quindi la sintassi e la semantica modali potremmo tornare ad interrogarci sulla verità di

B → M: se "Il 21 dicembre 2012 l'LHC del CERN produrrà un buco nero" allora "Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

B → M è necessariamente vera?
(B → M)

Oppure è possibilmente vera?
(B → M)

Personalmente propenderei più per la seconda ipotesi, viste le precedenti considerazioni sulla microscopicità e sulla instabilità del buco nero.
In realtà se andiamo poi a leggere la pagina del CERN che parla della sicurezza dell'LHC dovremmo forse concludere che l'evento è impossibile e cioè:
¬(B → M)

Che equivale ad affermare la necessita della sua negazione e cioè:
¬(B → M)

Ho l'impressione che tutto questo discorso potrebbe anche essere stato affrontato sotto una prospettiva probabilistico-bayesiana, ma questo magari lo rimandiamo ad un futuro anniversario di Bayes.

Concludo con:

1. le formule fondamentali per la Logica modale classica:

\Diamond P \leftrightarrow \lnot \Box \lnot P;
\Box P \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot P.

2. un brevissimo cenno al fatto che esiste anche una Logica modale intuizionista (non classica) che è un'estensione della Logica proposizionale intuizionista, in cui le suddette formule fondamentali non valgono e che alcuni anni fa mi causò diverse notti insonni.

3. la clausola di esonero della responsabilità a scanso di equivoci:

I dialoghi di questi quattro post sono frutto dell'immaginazione dell'autore e sono stati usati solo come espediente narrativo.

martedì 8 giugno 2010

C'è una teiera di porcellana che orbita attorno al Sole

La teiera di Russel (Post ispirato da Arimortis)

«Se io sostenessi che tra la Terra e Marte c'è una teiera di porcellana in rivoluzione attorno al Sole su un'orbita ellittica, nessuno potrebbe contraddire la mia ipotesi, purché mi assicuri di aggiungere che la teiera è troppo piccola per essere rivelata, sia pure dal più potente dei nostri telescopi. Ma se io dicessi che - posto che la mia asserzione non può essere confutata - dubitarne sarebbe un'intollerabile presunzione da parte della ragione umana, si penserebbe con tutta ragione che sto dicendo fesserie. Se, invece, l'esistenza di una tale teiera venisse affermata in libri antichi, insegnata ogni domenica come la sacra verità ed instillata nelle menti dei bambini a scuola, l'esitazione nel credere alla sua esistenza diverrebbe un segno di eccentricità e porterebbe il dubbioso all'attenzione dello psichiatra in un'età illuminata o dell'Inquisitore in un tempo antecedente.»

Bertrand Russel

domenica 6 giugno 2010

Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale? - terza parte

Abbiamo visto che il sillogismo avicenniano non è risultato utile a sciogliere il groviglio della questione Maya-Saclà, riassunta nella proposizione:

Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo

Vediamo allora se spostandoci avanti nella storia riusciremo a trovare nuovi strumenti modali utili a dirimere la nostra diatriba.

La Logica avicenniana esercitò una certa influenza in Europa occidentale sugli scolastici che svilupparono una particolare attenzione alle modalità, e soprattutto ai concetti di possibilità e necessità. È proprio alla tradizione scolastica infatti che si deve la definizione di "modale" per questo tipo di Logica. Modale in quanto indica il modo in cui una proposizione è vera: necessariamente o possibilmente.
Tuttavia neppure gli scolastici svilupparono strumenti logici adatti al nostro scopo.

Quello che invece potrebbe aiutarci è un altro documento, che mi è capitato tra le mani a Parigi in una libreria dell'usato nel quartiere di Marais. Stavolta la lingua è il francese. La traduzione non presenta quindi difficoltà estreme.
Con mio sommo stupore mi rendo conto di trovarmi per la terza volta di fronte ad un inedito. L'autore è Pierre Beaumarchais e il testo è di nuovo un dialogo avvenuto stavolta nel secondo decennio del XVIII secolo tra il vecchio Leibniz e il ventenne Voltaire. Pare che quel dialogo sia stato narrato a Beaumarchais dalla cameriera di Voltaire che intratteneva rapporti di stretta amicizia con il giovane autore de "Il barbiere di Siviglia". Alcune dicerie del tempo riportano che uno dei criteri con cui Voltaire sceglieva le cameriere era basato sulla competenza storico-filosofica delle giovani aspiranti. Ma leggiamo il dialogo.

L: (con stanca e annoiata prosopopea) Vedete giovane Arouet (ndD lo pseudonimo di "Voltaire" fu assunto dal filosofo solo nel 1718), in questo nostro mondo, che è indubbiamente il migliore tra tutti i possibili mondi, tutti i fatti sono interconnessi tra loro. Tanto è vero che, se voi non foste stato scacciato a gran calci nel sedere da uno dei più bei castelli di Provenza ed allontanato a malo modo dalla bella Cunegonda, ora non sareste qui a beneficiare di questo dialogo con il più grande matematico e filosofo vivente. Pertanto, ciò che all'inizio poteva apparire come un inconveniente si è rivelato essere un grosso vantaggio per il vostro sviluppo intellettuale.

V: (con evidente insoddisfazione) Voi dite bene, esimio Leibniz, ma non potremmo forse immaginare un altro mondo possibile in cui io non sia stato scacciato a gran calci nel sedere ed ora mi trovi nel castello provenzale della mia bella Cunegonda a dialogare con il più grande matematico e fisico vivente, Sir Isaac Newton?



L: (apodittico) Il nostro mondo deve essere necessariamente il migliore e il più equilibrato tra i mondi possibili, in quanto creato da un Dio perfetto. Il Suo imperscrutabile disegno può apparire imperfetto alle nostre miserevoli menti umane, ma la vostra scacciata, in quanto parte del disegno di un Essere perfetto, non può che essere stata concepita per il meglio possibile.

V: (meditabondo) Ma allora, se tutto è stato concepito per il meglio possibile, la proposizione Maya:

"Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo"

dovrebbe essere impossibile? Visto che se fosse vera non sarebbe stata concepita per il meglio possibile .... A meno che il meglio possibile per l'Universo non sia rappresentato proprio dalla scomparsa del genere umano o dell'Universo stesso ....
O forse no! La proposizione Maya potrebbe essere possibile ma comunque falsa nel nostro mondo. Infatti potremmo senz'altro immaginare un altro mondo possibile, ben lungi dall'essere il migliore, in cui la proposizione Maya sia vera... E certo! Potremmo immaginare un mondo possibile in cui il 21 dicembre 2012 si verifichi un evento catastrofico planetario o addirittura universale.
Pertanto la proposizione Maya non è impossibile! Difatti, per poterla dichiarare impossibile dovremmo poter asserire la sua falsità in tutti i mondi possibili. In tal caso sarebbe necessaria la sua negazione. Cioè la proposizione non Maya:

"Il 21 dicembre 2012 non finirà il mondo"

Necessaria in quanto vera in tutti i mondi possibili. Ma abbiamo appena visto che si possono concepire dei mondi in cui la proposizione Maya è vera.
Penso che questo potrebbe essere un buon argomento di discussione per il giorno del mio ritorno al castello della bella Cunegonda. E sono abbastanza sicuro che questa mia conclusione sarebbe piaciuta ad Aristotele.

La  storia purtroppo ignora anche questo dialogo, ma ci dice tuttavia che la paternità dell'idea dei mondi possibili è effettivamente attribuita a Leibniz.
La storia ci dice inoltre che la Logica modale moderna nascerà circa due secoli dopo Leibniz con le assiomatizzazioni pubblicate nel 1932 da C. I . Lewis nel libro Symbolic Logic. Due decenni dopo queste assiomatizzazioni vennero inquadrate in ambito più logico matematico soprattutto ad opera di Alfred Tarski.
Ma che cosa significa "in ambito più logico matematico"? E soprattutto, questo ambito ci aiuterà nella comprensione della questione Maya? Lo vedremo nella quarta ed ultima parte.

giovedì 3 giugno 2010

Il mondo finirà nel 2012? Una questione di Logica modale temporale? - seconda parte

Abbiamo visto che alcune considerazioni sulla Logica modale sono comparse per la prima volta nella storia nel IV secolo a.C. ad opera di Aristotele e Diodoro Crono. E che queste considerazioni si sono rivelate utili per aiutarci a districare la questione Maya e la sua proposizione:

Il 21 dicembre 2012 finirà il mondo

Nella prima parte l'arguto Fabio di Einbahnstrasse mi faceva notare che il mondo non potrà finire nel 2012 visto che il suo barattolo di sottaceti riporta il 2013 come anno di scadenza.
Ma allora la proposizione Maya è necessariamente falsa!?
I Maya si erano sbagliati e sono stati clamorosamente smentiti dalla Saclà?
La competizione si fa interessante: una multinazionale gastronomica contro una delle civiltà più affascinanti della storia umana....
Chi uscirà vincitore i Maya o la Saclà?

Vediamo se riusciremo a trovare nella Logica modale qualche altro appiglio che ci possa aiutare a dipanare questo scontro tra titani....

Dopo Aristotele e Diodoro Crono dovrà trascorrere più di un millennio prima che si possano trovare ulteriori progressi nell'ambito della Logica modale. A svilupparli fu il medico, filosofo, matematico e fisico persiano Ibn Sina più noto in occidente come Avicenna (Balkh, 980 – Hamadan, 1037).

Per questa seconda parte mi avvarrò di un altro documento acquistato anch'esso durante uno dei nostri viaggi. Questa volta però un po' più a oriente. In Giordania. E per la precisione nel sūq di Amman. Dove, oltre che dal libro di ricette che ha fatto entrare l'hummos nel nostro ricettario familiare, fui anche stranamente attratto da un vecchio libricino scritto in arabo. Lingua totalmente ignota sia a me che a Zucchero. Dovemmo attendere infatti diversi anni prima di poter leggere una traduzione di quel libricino. Ce lo tradusse il nostro ex-collega Khaled. Con grande sorpresa scoprii che si trattava di alcune Rubʿayyāt di ʿOmar Ḫayyām che si credevano smarrite. Tali quartine narrano, in forma di brevi dialoghi, gli incubi che tormentarono Avicenna per un periodo di mille e una notte. Incubi in cui lo scienziato persiano veniva visitato dal filosofo greco Aristotele, il quale cercava di persuadere Avicenna dell'univocità interpretativa della realtà attraverso la Logica aristotelica. In anteprima mondiale riporto di seguito la traduzione delle ultime quartine del poema che riportano il dialogo avvenuto durante la milleunesima notte. Il mio ex-collega mi informa che purtroppo, per questioni di praticità, la bella metrica poetica delle quartine arabe si è persa con la traduzione.

Ar: (con insolenza) Caro Avicenna, devo confessarVi che tra le mie creazioni intelettuali che Vi ho illustrato nelle mille notti precedenti quella di cui vado più fiero, e che rimarrà un monumento imperituro alla ragione umana, è il mio sillogismo:
• (premessa maggiore) Tutti gli uomini sono mortali
• (premessa minore) Socrate è un uomo
• (conclusione) Socrate è mortale


Av: (riflessivo) Illustre Aristotele, vorrei sottoporVi il seguente esempio di applicazione del Vostro sillogismo:
• (premessa maggiore) Tutti gli uccelli volano
• (premessa minore) Tutti i pinguini sono uccelli
• (conclusione) Tutti i pinguini volano

Ar: (con titubanza) Ehm, ... la Vostra premessa maggiore... forse... andrebbe interpretata...

Av: (con crescente entusiasmo) È con sommo dispiacere che mi trovo in questa imbarazzante condizione di doverVi far notare una lacuna nel Vostro "monumento imperituro alla ragione umana".
(con decisione) Questa lacuna potrebbe però essere colmata con l'inserimento di operatori quali "sempre" e "quasi sempre"
• (premessa maggiore) Tutti gli uccelli volano (quasi sempre)
• (premessa minore) Tutti i pinguini sono uccelli (sempre)
• (conclusione) ?

La figura onirica di Aristotele impallidisce, si fa sempre più diafana, fino a scomparire del tutto.

Av:(con sollievo) Finalmente potrò trascorrere notti tranquille....

Tuttavia la storia ufficiale ignora questo dialogo e ci dice che Avicenna fu il primo a fornire un vero e proprio sistema formale per la Logica modale temporale costruendo così quella che in seguito venne chiamata la Logica avicenniana; che nasce proprio dalla critica di Avicenna alla Logica aristotelica. Critica che condusse lo scienziato persiano a sviluppare un forma modale temporale del sillogismo introducendo nelle premesse operatori temporali quali "sempre", "quasi sempre", e "a volte". Nel dialogo che abbiamo visto gli operatori non sono propriamente temporali. Il risultato semantico è diverso ma quello sintattico non cambia.

Ma tornando ai Maya, il sillogismo avicenniano ci fornisce qualche strumento aggiuntivo che possa essere utile a sbrogliare lo gnommero gaddiano della questione?
Non parrebbe. La questione Maya è espressa da una semplice proposizione e non da un sillogismo! A meno che qualcuno non si voglia spingere ad accettare come premessa maggiore che i Maya sono infallibili....
In caso contrario dovremo spostarci di nuovo avanti nella storia alla ricerca di nuovi strumenti modali.
Ma questo lo vedremo nella terza parte.

mercoledì 2 giugno 2010

Vivi dell'oggi e non perdere al vento la vita

Non ricordare il giorno trascorso
e non perderti in lacrime sul domani che viene:
su passato e futuro non far fondamento
vivi dell'oggi e non perdere al vento la vita.
(ʿOmar Ḫayyām, Rubʿayyāt)
از دی که گذشت هیچ از او یاد مکن
فردا که نیامده‌ست فریاد مکن
بر نامده و گذشته بنیاد مکن
حالی خوش باش و عمر بر باد مکن