lunedì 2 aprile 2012

Le lezioni di Eratocle: la sacra Tetraktys

Segue da: Le lezioni di Eratocle: numeri quadrati

- Triangoli equilateri?
- Sì, noi matematici chiamiamo equilateri quei triangoli che hanno i lati di lunghezza uguale.
 Eurito annuì e costruì il primo triangolo con diligenza.
E poi il secondo.
Quindi scrisse sulla tavoletta.

1 2 3 1 3 6

- Fermati qui! - gl'intimò il maestro quando stava per aggiungere altri ciottoli alla figura. L'allievo lasciò cadere il sassolino che aveva in mano. - Presta molta attenzione a quello che stai per fare - declamò Eratocle. - Con questo passo trasformerai quella che è una semplice figura geometrica ottenuta con dei ciottoli in una rappresentazione della sacra Tetraktys: il triangolo magico che compendia in se tutta la verità del numero e conseguentemente tutta la sostanza delle cose. Eurito raccolse il ciottolo che gli era caduto e con molta cautela si accinse a completare la figura.
Non appena Eurito ebbe disposto l'ultimo sassolino Eratocle chinò il capo: - To Pan einai Arithmos - salmodiò. - Ripeti con me Eurito: To Pan einai Arithmos.
Dopo un attimo di riluttanza l'allievo si unì alla litania del maestro.
- To Pan einai Arithmos - ripeté un'ultima volta il maestro scandendo bene le sillabe. - Tutto è numero. È questo il nostro motto. Il motto dei pitagorici. Quello che il sommo maestro ha coniato dopo le recenti scoperte.
Il ragazzo lo guardava smarrito.
- Ed è con questo canto che dovremo sempre magnificare ogni manifestazione della sacra Tetraktys - continuò Eratocle. - Osservala Eurito. Osservala! E dimmi che cosa ti dice la sacra Tetraktys.
Eurito sgranò gli occhi.
- Da che cosa è composta? - lo incalzò il maestro.
- Da dieci ciottoli - rispose Eurito timoroso.
- E poi? Che figura geometrica rappresenta?
- Un triangolo… equilatero - azzardò l’allievo.
- Giusto! - confermò il maestro. - I tre lati, formati da quattro ciottoli identici, vanno a costituire un triangolo equilatero: il simbolo della perfetta eguaglianza. - Lo sguardo di Eurito cominciò a rasserenarsi. - E ora dimmi Eurito. Quanti ciottoli hai aggiunto ad ogni passo?
- Due, tre e quattro - rispose prontamente il ragazzo.
- Un numero pari, un numero dispari e di nuovo un numero pari: il simbolo dell’illimitato che si alterna al simbolo del limitato: i due princìpi basilari dell'universo. E il tutto generato dall’uno: l’unicità che può rendere dispari un pari e pari un dispari. - Eurito annuì. - Ma la proprietà più interessante della divina Tetraktys la scoprirai se riuscirai a vedere la connessione con l'armonia dei suoni. Lo sguardo del giovane vagava confuso. - Pensa al racconto di poco fa - lo esortò Eratocle. - Quali erano i numeri della consonanza? Quelli che abbiamo scoperto possedere un ruolo privilegiato rispetto a tutti gli altri numeri?
- Uno, due, tre e quattro! - esclamò Eurito. - Gli stessi numeri della divina Tetraktys!
- Precisamente. Combinando le loro somme potrai inoltre trovare i primi dieci numeri, così come aveva mostrato Pitagora alla fine dell'esperimento con corde e dischi. E con questi dieci numeri potrai generare tutti gli altri numeri che formano l'universo. Ma c'è dell'altro. - Il corpo del giovane allievo si protese verso il maestro. - Prova a scrivere i rapporti tra numeri di ciottoli contenuti nelle righe della Tetraktys partendo da quello tra la seconda e la prima riga.
Eurito scrisse.

2/1
3/2
4/3

- Ma sono proprio i rapporti tra i suoni consonanti dell'esperimento - concluse il giovane ammirato.
- Sì, proprio quelli. E per finire, la somma di tutti i punti della sacra Tetraktys dà come risultato dieci: il numero perfetto! - concluse Eratocle con ispirato fervore. - Pensaci Eurito! Rifletti sulla prodigiosità di questa figura. Non vedi in essa una formidabile sintesi dell’ordine numerico-musicale del cosmo? Non vi scorgi un meraviglioso compendio dei princìpi matematici che regolano l’ordine dell'universo? Di quei princìpi che dell’universo sono causa, precetto e cagione di armonia?
Eurito annuì di nuovo.
- Non ti sarà quindi difficile capire il motivo per cui tutti i giuramenti di noi pitagorici vengono formulati sulla sacra Tetraktys.
Il ragazzo scosse la testa in un riflesso ormai quasi condizionato.
- Bene - continuò il maestro - con le nozioni che hai appreso oggi sui numeri quadrati possiamo tornare ad affrontare il discorso delle lunghezze dei lati dei triangoli e cercare finalmente quel criterio per la determinazione delle terne di numeri che danno luogo ai triangoli rettangoli.
Il volto di Eurito s'illuminò con un sorriso.
- Riprendi la tavoletta - lo esortò il maestro - e leggimi l'altro criterio che hai scritto.
- Se indico le lunghezza dei bastoncini corti con a e b - cominciò a leggere Eurito - e quella del bastoncino lungo con c, allora, affinché si possa costruire un triangolo, è necessario che:

a più b sia maggiore di c

- Giusto - disse Eratocle. - E qual era quell'altra categoria di terne di numeri?
- Quella dei numeri che, come 3, 4 e 5, generano un triangolo rettangolo? - rispose titubante Eurito.
- Sì, quella - confermò Eratocle. - Ciò che vorrei tu trovassi adesso è la relazione che deve sussistere tra le lunghezze dei lati a, b e c affinché il triangolo sia rettangolo. Gli strumenti ce l'hai. Se troverai quella relazione vedrai come in essa sussiste una triplice gioco di rimandi: figure geometriche che esprimono numeri che a loro volta tornano ad esprimere nuove figure geometriche. Ma penso sia meglio continuare domani. Così avrai il tempo per rielaborare quanto appreso oggi e per cercare quella relazione. Prenditi le tavolette a forma di triangolo e i bastoncini, ti saranno utili.
Eurito uscì dall'aula riuscendo a malapena a biascicare un saluto.

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