lunedì 16 novembre 2015

Il paradosso del mentitore: è davvero un paradosso?

Il paradosso del mentitore nella sua forma classica è davvero un paradosso? O meglio, un'antinomia?

Prima di tutto partiamo da qualche definizione.

Che cosa afferma il paradosso del mentitore nella sua forma classica?
il paradosso del mentitore nella formulazione classica di Epimenide di Creta afferma che «tutti i Cretesi sono bugiardi».

Che cos'è un paradosso?
Il termine può assumere diversi significati a seconda dei contesti. "Secondo la definizione che ne dà Mark Sainsbury, sarebbe «una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile»."

Ma, nel caso del paradosso del mentitore dovremmo trovarci più precisamente di fronte a un'antinomia.
Che cos'è un'antinomia?
"L'antinomia è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate."

Ora vediamo perché il paradosso del mentitore nella formulazione classica non genera necessariamente la compresenza di due affermazioni contraddittorie.
Per mostrare che una proposizione è un'antinomia si parte solitamente dall'assunzione che la proposizione sia vera (o falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Poi la si assume falsa (o vera se prima la si era considerata falsa) e si vede che cosa se ne può dedurre. Se le deduzioni sono in contraddizione tra di loro allora si può dire che ci troviamo di fronte a un'antinomia.
Dunque, se assumiamo che la proposizione del mentitore nella formulazione classica sia falsa allora sarebbe vera la sua negazione. E cioè che "esiste almeno un Cretese bugiardo". Ma quel bugiardo potrebbe essere proprio Epimenide. E in questo caso non c'è contraddizione. Perché Epimenide starebbe mentendo dicendo che «tutti i Cretesi sono bugiardi». E la cosa finirebbe lì. Non ci sarebbe alcuna contraddizione perché l'enunciato può essere semplicemente valutato come falso.
La contraddizione si produce invece se si assume che l'affermazione sia vera. Ma ciò non basta a produrre l'antinomia.
Quindi, se non ci sono errori nel ragionamento che ho descritto si può affermare che il paradosso del mentitore nella sua forma classica non è un'antinomia.
Per produrre l'antinomia la proposizione dovrebbe essere riformulata così: "io sono un bugiardo". Solo con tale versione della proposizione si entra nel circolo vizioso in cui la falsità implica la verità che implica la falsità che implica la verità e così via. In altre parole per produrre il paradosso si deve inserire un'autoreferenza di tipo più assoluto. Si deve passare cioè dall'autoreferenza su di un insieme a un'autoreferenza su di una singola entità. In termini più tecnici dobbiamo togliere il quantificatore universale e passare da una logica predicativa a una logica
proposizionale.

lunedì 9 novembre 2015

I concetti indispensabili della matematica

- Dunque tu vorresti sapere quali siano i concetti indispensabili della matematica. Ma in che senso?
- Beh, quei concetti matematici di cui non si potrebbe fare a meno.
- Uhm, bella domanda!
- Potresti immaginare, ad esempio, di avere solo un paio d'ore a disposizione per insegnarmi qualcosa di matematica. Ecco, che cosa mi insegneresti?
- Beh, dipenderebbe dalle tue conoscenze di partenza.
- Supponiamo che io non sappia nulla di matematica.
- Supposizione un po' difficile da accettare, visto che anche i bambini, prima di saper leggere, solitamente sanno già contare. Dovremmo definirla un po' meglio. Intendi una totale assenza di concetti matematici? Oppure un'assenza di concetti matematici più avanzati? Mi spiego meglio. Dovrei supporre che tu non sia a conoscenza neppure del concetto di numero, come i parlanti di quelle lingue che come numeri hanno un soltanto "uno", "due", "molti" (o addirittura soltanto "pochi" e "molti")? Oppure che tu sia a conoscenza, almeno a livello pratico, dei concetti matematici di base? E cioè, che tu sia almeno in grado di eseguire le quattro operazioni con numeri interi e frazioni?
- ... Boh! ... facciamo ... assenza totale?
- Sai, sto pensando che forse la distinzione, alla fine, non è poi così importante. Supponendo che il totale analfabeta matematico, in questo caso tu (senza offesa eh; si tratta solo di supposizioni), sia capace di e interessato ad apprendere, forse gli insegnerei le stesse cose che insegnerei a chi sia già a conoscenza dei concetti di base a livello pratico. E cioè: il ragionamento deduttivo, che può essere insegnato abbastanza agevolmente attraverso la sua formalizzazione nel linguaggio della logica matematica; e il concetto di numero a partire dal concetto di insieme.
- Bene. Ti ascolto.
- Forse partirei da semplici concetti di logica introducendoli in modo abbastanza informale. Tipo: un enunciato è una frase di cui si possa dire, senza ambiguità, se sia vera o se sia falsa.
- Come, ad esempio, "oggi è bel tempo"?
- Beh, la definizione di "bel tempo" è qualcosa di piuttosto soggettivo. Ciò che viene chiamato "bel tempo" qui nella patria di Hilbert non credo coincida con la definizione che se ne dà dalle tue parti. Diciamo che un esempio un po' più preciso potrebbe essere "sta piovendo".
- Ho capito, e poi?
- Poi dovrei introdurre i connettivi logici.
- E cioè?
- Dei semplici connettivi logici sono, ad esempio, le congiunzioni "o" e "e" e l'avverbio "non".
- E quindi?
- Quindi combinando gli enunciati attraverso questi connettivi potremo costruire enunciati più complessi.
- Ho capito. Tipo: "piove" e "io mangio la pasta ".
- Esatto. E poi per stabilire i valori di verità degli enunciati composti possiamo definire le seguenti tabelle di verità.

A B A e B
Falso Falso Falso
Falso Vero Falso
Vero Falso Falso
VeroVeroVero

- E ciò starebbe a significare che ("piove" e "io mangio la pasta") è vero se è contemporaneamente vero che "piove" e "io mangio la pasta"?
- Precisamente.
- Ma è ovvio.
- Cero che è ovvio! Parliamo di Logica! Però credo che già questa sia meno ovvia.

ABA o B 
FalsoFalsoFalso
FalsoVeroVero
VeroFalsoVero
VeroVeroVero

- Cioè, mi stai dicendo che ("piove" oppure "usciamo") è falso solo se è non "piove" e non "usciamo" e vera anche quando piove e noi usciamo lo stesso?
- Esatto.
- Quindi è come il "vel" latino.
- Sì, si chiama disgiunzione inclusiva. È più interessante della congiunzione, no? Ma possiamo costruire un connettivo ancora più interessante: l'implicazione logica"se" X "allora " Y.
- Tipo: se "piove" allora "non usciamo"?
- Sì! Ti prometto che se piove non usciamo.
- Ma adesso non sta piovendo. Perché allora non usciamo?
- Perché il connettivo è definito come non(A e non B). Cioè, l'unica condizione non ammessa è che si verifichi A e allo stesso tempo non si verifichi B.
- Quindi, l'unica condizione non ammessa sarebbe che noi usciamo nonostante la pioggia ma non sussisterebbe alcun obbligo nel caso di assenza di pioggia? Vuoi dirmi che se conosco meglio la logica corro meno rischi di farmi fregare?
- Beh, direi proprio di sì. Ma che stai scrivendo?
- La tavola di verità dell'implicazione. Così non mi farò fregare di nuovo.

ABA → B 
FalsoFalsoVero
FalsoVeroVero
VeroFalsoFalso
VeroVeroVero

- Bravissima!
- Quindi? È tutta qui la logica?
- Beh, per quanto riguarda i connettivi della logica proposizionale potrebbe pure bastare. Ce ne sono altri ma anche solo questi sarebbero sufficienti. Gli altri te li puoi guardare con calma. Quello che manca sono gli assiomi:

A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬B → ¬A)  ((¬B → A) → B)

La regola di inferenza, che poi, nel caso della logica proposizionale, è una sola: il modus ponens. Questa regola ti dice che se è vero che A → B e se A è vera allora anche B è vera.
E, infine, la definizione di dimostrazione di una formula F. E cioè una sequenza di formule F1, F2, ..., Ftale che:
F = F e ogni Fi (1 < i < n) o è un assioma, o è ottenuta da un assioma per sostituzione oppure è ottenuta per Modus ponens da due formule Fe Fk con j < i e k < i.
Ma i dettagli tecnici dovrai guardarteli da sola, ad esempio qui.
Ecco, quello che ti ho spiegato finora è già un buon punto di partenza per il primo concetto indispensabile della matematica.
- Bene. E per quanto riguarda l'altro concetto indispensabile? Quello del numero a partire dal concetto di insieme?
- Beh, quello lo vedremo la prossima volta.

giovedì 22 ottobre 2015

N-ternologi: il 2-ternologio completato

Una collega americana mi ha proposto la seguente 2-ternoformula per il 7 commentandola con "I've always been a fan of Pascal's Triangle". Le avrei voluto spiegare il discorso di Tartaglia ma poi ho desistito :-)
Ad ogni modo, questa formula soddisfa le regole che avevamo definito qui?
Ecco la regola: si vogliono rappresentare i numeri tra 1 e 12 utilizzando esattamente tre volte una sola cifra tra 1 e 9 (in questo caso specifico la cifra 2), e qualsiasi simbolo matematico come operatore o come simbolo di rappresentazione numerica.
Io direi di sì, voi che ne dite?
Ecco quindi una versione del 2-ternologio completo senza utilizzare la funzione parte intera.



mercoledì 14 ottobre 2015

Carnevale della Matematica #90 - Le menzogne della matematica

L'edizione di ottobre del Carnevale della Matematica è ospitata da peppeliberti. Il tema è "Le menzogne della matematica".
Io ho contribuito con due articoletti così introdotti:
Al tema, come al solito, s’accompagna un verso della Poesia gaussiana, questa volta il novantesimo, guarda caso, cullato dalle note della “Cellula Melodica” di Dioniso. Eccolo:
Cellula melodica #90“il merlo, il merlo canta tra i cespugli” — dalla Poesia gaussiana
Il felice protagonista dell’infinita poesia è un merlo e un Merlo è stato, nel mese di settembre, l’infelice protagonista dell’infinita cantilena contro i numeri, una cosa che qua vi risparmio ma che avevo già segnalato nel post di chiamata alle armi (ne han scritto anche Maurizio Codogno e Dioniso, qui equa). Non vale la pena perderci troppo tempo però, una lettura rapida, uno sghignazzo e tornate da me, ché vi racconto del 90.
Dioniso di Pitagora e dintorni, il già ricordato autore della cellula melodica, invia:
Verso la matematica moderna: Viète, Magini, Clavius e l’introduzione di nuovi simboli e concettiDioniso racconta di come, nell’ultimo quarto del XVI sec., l’Europa occidentale aveva recuperato la maggior parte delle opere matematiche dell’antichità che ci sono pervenute. L’algebra degli arabi era stata assimilata e sviluppata sia attraverso la soluzione generale delle equazioni di terzo grado sia attraverso un impiego parziale del simbolismo e la trigonometria era diventata una disciplina autonoma. Nel periodo tra la fine del ‘500 e gli inizi del ‘600 la matematica aveva quasi raggiunto quel livello di maturità che poteva consentire rapidi progressi ma fu necessario un periodo di transizione e, questo passaggio dal Rinascimento al mondo moderno, si realizzò anche attraverso una serie di figure intermedie. La figura centrale di questa fase fu il matematico francese François Viète.


Il mese prossimo l'edizione numero 91 del 14 novembre 2015(“allegro, melodioso”) verrà ospitata da MaddMaths! e il tema è ancora ignoto.

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giovedì 1 ottobre 2015

Verso la matematica moderna: Viète, Magini, Clavius e l'introduzione di nuovi simboli e concetti - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente abbiamo detto che dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in altre aree.
Nell'ultimo quarto del XVI sec. l'Europa occidentale aveva recuperato la maggior parte delle opere matematiche dell'antichità che ci sono pervenute1; l'algebra degli arabi era stata assimilata e sviluppata sia attraverso la soluzione generale delle equazioni di terzo grado sia attraverso un impiego parziale del simbolismo (1, 2); e la trigonometria era diventata una disciplina autonoma. Boyer1 afferma che nel periodo tra la fine del '500 e gli inizi del '600 la matematica aveva quasi raggiunto quel livello di maturità che poteva consentire rapidi progressi ma fu necessario un periodo di transizione e, questo passaggio dal Rinascimento al mondo moderno, si realizzò anche attraverso una serie di figure intermedie.
Tuttavia, la figura centrale di questa fase fu il matematico francese François Viète (1540 – 1603), noto anche con il nome latinizzato di Franciscus Vieta. Nato in una famiglia di giuristi, Viète studiò diritto ed esercitò l'avvocatura. A 24 anni diventò precettore di Catherine de Parthenay, a 31 avvocato al parlamento di Parigi e a 33 consigliere al parlamento della Bretagna. Nel 1576 entrò a far parte del servizio del Re: dapprima di Enrico III e poi, nel 1594, di Enrico IV. E sotto quest'ultimo venne incaricato di decifrare i messaggi che gli spagnoli avevano cifrato con una chiave di oltre 500 caratteri. Attività nella quale Viète dimostrò una tale abilità che gli spagnoli lo accusarono di essere in combutta col diavolo.
Nonostante il tempo limitato che poteva dedicare alla matematica a causa dei suoi impegni politici Viète riuscì ad apportare notevoli contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. Probabilmente la maggior parte di questi vennero prodotti tra il 1564 e il 1568, quando Viète non aveva ancora impegni politici, e tra il 1584 e il 1589, quando Viète venne allontanato dal potere in quanto ugonotto. (Nel 1594 si convertì al cattolicesimo per poter prestare di nuovo servizio per il Re).
Del primo di questi due periodi è l'Harmonicon Coeleste, un testo in cinque libri mai pubblicato ma ancora disponibile come manoscritto (una copia autografa è nella Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze, e un'altra copia di G. Borelli è nella Biblioteca Nazionale Centrale Vittorio Emanuele II di Roma). Nell'Harmonicon Coeleste Viète presentò la sua visione tolemaica del cosmo in quanto egli credeva che l'ipotesi di Copernico non fosse geometricamente valida. Essendo un trattato di astronomia, l'Harmonicon contiene ovviamente anche molta trigonometria.
Nel 1571 Viète pubblicò un'opera di trigonometria, Canon mathematicus, nella quale presentò varie formule sulle funzioni seno e coseno. Questo lavoro costituisce il primo passo avanti della trigonometria dopo i risultati di Copernico e Rheticus. Il Canon, inoltre, fornì un impulso verso l'uso di frazioni decimali in luogo di quelle sessagesimali.
L'uso della virgola decimale vera e propria si attribuisce invece solitamente o a Giovanni Antonio Magini (1555-1617), un astronomo amico di Keplero e concorrente di Galileo alla cattedra di matematica a Bologna, nel suo De planis triangulisoppure a Christophorus Clavius, meglio noto in Italia come Cristoforo Clavio (1538 – 1612), un gesuita, matematico e astronomo tedesco, anch'esso amico di Keplero e noto soprattutto per il suo contributo alla definizione del calendario gregoriano, in una tavola di seni del 1593. Tuttavia la virgola entrò davvero nell'uso comune soltanto venti anni più tardi grazie sopratutto a Nepero. Ma di questo ci occuperemo in seguito.
Tornando invece a Viète, si può dire che fu l'algebra il campo nel quale egli fornì i contributi più importanti imprimendo a questa disciplina un forte impulso verso l'approccio moderno. Quello che vede l'algebra come una forma di ragionamento astratto e non, com'era accaduto per il periodo arabo fino all'inizio dell'età moderna, come un insieme di artifici per risolvere problemi. Prima di Viète, l'obiettivo principale di questa disciplina era rimasto la ricerca del valore dell'incognita, a quei tempi denominata "la cosa", in un'equazione con coefficienti numerici specifici senza avere alcuno schema generale per rappresentare un'intera classe di equazioni, come, ad esempio, quello attualmente in uso (ax2 + bx + c = 0) per rappresentare una qualsiasi equazione di secondo grado. Nella geometria, invece, per mezzo di una figura e di tre lettere si potevano rappresentare tutti i triangoli. Fu qui che Viète introdusse un principio convenzionale tanto semplice quanto rivoluzionario. Usò una vocale per rappresentare l'incognita e una consonante per rappresentare un numero noto introducendo così per la prima volta nell'algebra una netta distinzione tra il concetto di parametro e quello di incognita. A questo punto, usando tutte le notazioni simboliche allora esistenti, sarebbe stato possibile scrivere tutte le equazioni di secondo grado con l'unica formula BA2 + CA + D = 0. Ma né Viète né tanto meno altri matematici del tempo ebbero l'intuizione, o forse la possibilità, di elaborare una tale sintesi. L'algebra di allora rimaneva fondamentalmente un'algebra sincopata; infatti, sebbene Viète adottasse i simboli tedeschi per l'addizione e la sottrazione e usasse simboli diversi per parametri e incognite, per il resto usava ancora espressioni verbali e abbreviazioni.
Con Viète si osserva anche una chiara tendenza verso la correlazione tra la nuova algebra e la vecchia geometria di Apollonio. Il matematico francese arrivò a un passo dalla geometria analitica e, se non avesse evitato lo studio geometrico delle equazioni indeterminate, avrebbe potuto scoprire questa disciplina qualche decennio prima di Cartesio.
Anche la sua trigonometria, così come la sua algebra, fu caratterizzata da una accentuata possibilità di generalizzazione e ampiezza di vedute. Così, oltre a essere considerato il fondatore dell'algebra letterale, Viète potrebbe anche essere considerato il padre di quel metodo analitico generalizzato di trattare la trigonometria che a volte viene chiamato goniometria.

Ma oltre a Viète, in quel periodo, molti altri matematici si interessarono alla trigonometria e produssero manuali e compendi. Il termine stesso "trigonometria" fu coniato in quel periodo da Bartholomaeus Pitiscus  (Grünberg, 1561 – Heidelberg, 1613),che lo usò come titolo di un manuale pubblicato nel 1595.

Anche l'invenzione dei logaritmi avvenne in quegli anni, ma di questo parleremo nella prossima puntata che sarà su Nepero, Harriot, Oughtred e Recorde e l'introduzione di altri nuovi simboli.


martedì 29 settembre 2015

La matematica di Francesco Merlo

Francesco Merlo deve aver avuto insegnanti di matematica un po' difficili oppure deve essere stato uno studente con una capacità d'apprendimento piuttosto selettiva. Quando domenica ho sentito il suo commento relativo alla matematica sulla rassegna stampa di radio 3 (puntata completa) sono saltato sulla sedia. Poi, grazie a Peppe Liberti ho trovato anche l'audio di quella chicca. Sentite qua!

"Tutti parlano della matematica, eccetera. Che certo è importantissima, per carità. «Ah, guardate in matematica gli asiatici, eccetera, gli indiani!», beh, non mi pare che l’India sia il primo paese del mondo. Se davvero la matematica fosse così importante tutti questi geni indiani avrebbero portato... E poi: «perché gli italiani non amano la matematica» e anche questa è una cosa... forse perché ce n'è troppa: il numero di telefono, i numeri, il bancomat, il... persino questa si chiama Radio 3, pensi, ciò devo pensare a un numero per identificarla. E il... quando premi un tasto per cercare un disco in macchina è sempre con un numero. E va bè. Comunque..."

Francesco Merlo, Prima Pagina (Radio3) 27.09.2015

Per fortuna lo sventurato non sa ancora che esiste la numerazione di Gödel (e non solo quella) con la quale sarebbe possibile codificare ogni suo articolo in un numero. Anzi si potrebbero addirittura codificare tutti i numeri di Repubblica. O tutta una biblioteca. O tutto il sapere umano che sia mai stato scritto… Aspetta un attimo! Ma questo non è il progetto di Google?! Ahhhh! Il complotto pluto-aritmetico-massonico!

lunedì 7 settembre 2015

I primi mesi di scuola superiore e la matematica di Gambadilegno

Giorgio Bellini aveva già assistito più volte alla scena in cui il professor Compagnoni, dopo un attacco di tosse spaccapolmoni, apriva la finestra per espellere il grumo di muco bronchiale intriso di nicotina al di fuori delle pareti scrostate dell'edificio scolastico. Ma quel giorno il quattordicenne non credette ai suoi occhi quando vide il grumo finire sul pavimento dell'aula perché il professore non era riuscito ad aprire quella finestra arrugginita.

In quegli anni poteva capitare che l'insegnante di matematica di un istituto professionale per l'industria e l'artigianato della periferia romana fosse un geometra. Ma non nel senso di specialista della disciplina matematica della geometria. Alvaro Compagnoni era uno dei geometri di riferimento di quella circoscrizione romana. Un amico degli amici per cui vent'anni prima: "un posto nel nuovo istituto professionale non si nega a nessuno". Ma Giorgio dopo i primi due mesi di scuola aveva già capito che non era solo una questione di titoli di studio. Infatti, il professore di elettronica Enzo Faggiani, pur non essendo laureato, era un insegnante formidabile: motivato, colto, preparato, affabile, umano e carismatico. L'unico difetto che aveva era la sua personale scala di voti che andava dal 4 al 7. Ma poi, verso la fine dell'anno, Giorgio si sarebbe accorto che, rarissimamente, quando si rispondeva perfettamente e le domande erano difficili, si poteva ottenere anche un 8.

Giorgio Bellini cercò di trovare anche degli attributi adatti a descrivere il professor Compagnoni ma gliene venne in mente solo uno: la suinitudine. Il professore la esprimeva sia fisicamente, pur ricordando molto Pietro Gambadilegno, sia metaforicamente, nei modi. Alvaro Compagnoni arrivava solitamente in classe con un quotidiano e passava, quando andava bene, almeno tre quarti del tempo a leggerlo. Poi dava uno sguardo al registro e a volte spiegava sommariamente qualcosa. Altre volte, in prossimità della fine del quadrimestre, accorgendosi di aver dato pochi voti, interrogava a casaccio oppure improvvisava un improbabile compito in classe.
Un'interrogazione che rimase negli annali della classe fu quella in cui rispedì al banco Antonio De Pedis, un compagno di classe di Giorgio, tra le urla e le bestemmie. Antonio era tra i più studiosi della classe ma era anche molto ansioso. Il fatto di trovarsi di fronte a un insegnante così aggressivo gli aveva paralizzato le attività intellettive e quello stato di panico aveva fatto imbestialire Compagnoni.
Quell'anno Giorgio, facendosi descrivere i programmi da amici che frequentavano altri istituti scolastici, cercò di integrare autonomamente le carenze dell'insegnamento del professor Compagnoni.

Nel secondo anno di scuola superiore la situazione non migliorò. Anzi, per quanto riguarda l'apprendimento della matematica, per Giorgio quell'anno fu peggio del primo. Visto che il professor Compagnoni fu rimpiazzato da un'insegnante con grossi problemi personali. Ma questo Giorgio lo avrebbe capito bene solo qualche anno dopo. In quel momento si univa a, e a volte capeggiava, gli scherzi che andavano a colpire i punti deboli di quell'insegnante. Così, nella successiva estate, Giorgio passò un po' di tempo a colmare le lacune matematiche.

Al terzo anno la situazione cambiò radicalmente. La nuova professoressa, Gianna Colantoni, era una neolaureata in matematica e, dopo meno di un mese di scuola, Giorgio se n'era già letteralmente innamorato. Non che la professoressa fosse dotata di chissà quali bellezze fisiche. Non era come con Graziella Pace, durante le cui lezioni quasi tutta la classe, tranne Giorgio, De Pedis e forse un altro compagno, sceglieva posizioni strategiche per poterle guardare le gambe. No, la Colantoni piaceva solo a Giorgio. Il modo in cui parlava, il modo in cui spiegava, il modo in cui gli sorrideva: tutto gli provocava batticuori e ondate di emozioni. E l'amore per la professoressa si confuse con l'amore per la materia che la Colantoni insegnava con bravura e passione. Giorgio la subissava di domande e alla professoressa la cosa non sembrava dispiacere. Presto le domande cominciarono a sconfinare verso temi che andavano oltre il programma di quell'anno. E quando Giorgio scoprì l'analisi matematica, con quegli affascinanti concetti di limite e di infinito, le domande si moltiplicarono. Tanto che un giorno la Colantoni si presentò in aula con due libri.
- Questi sono i libri di testo su cui ho studiato per il mio primo esame di analisi. Te li regalo - gli disse la professoressa.
Giorgio fu invaso da una gioia incontrollabile che subito cercò di contenere per evitare imbarazzanti prese in giro da parte dei compagni di classe. Quei due libri diventarono subito una specie di feticcio per Giorgio. Li conservava, li sfogliava e li studiava quasi come fossero una parte della mente e del corpo della professoressa.
Anche il professor Baroni, che gli insegnò la geometria analitica e l'analisi matematica durante il quarto e il quinto anno, era molto bravo. Ma quando Giorgio prese la decisione di iscriversi a matematica non fu solo grazie a lui. E quando, sedici anni dopo, vinse un'importante premio per matematici, tra i vari maestri che aveva avuto, quella che ricordò con più affetto fu proprio la professoressa Gianna Colantoni.

venerdì 28 agosto 2015

Orologi con terne di singole cifre (n-ternologi): il 2, il 3, il 4 e il 9

Nello spirito dell'attuale clima vacanziero, negli ultimi giorni ho avuto una discussione socialmediatica, innescata dall'amico Roberto, sul famoso orologio basato sulla sola cifra del 9. Alla fine la discussione ha prodotto interessanti e divertenti osservazioni che riporto di seguito.

La prima osservazione è stata quella sull'inesattezza del fattoriale dentro la radice invece che fuori per l'ora quinta.
Qualcuno poi ha creduto di aver trovato un'altra inesattezza in quanto "0,999... non sarà mai 1". Invece, dovrebbe essere assodato che 1 e 0,9 periodico siano due diverse rappresentazioni dello stesso numero. Chi non è convinto provi a guardare 0,999...
Gianni Amati ha quindi commentato: Esistono un paio di imprecisioni se così possiamo definirle per un gioco. A parte il fattoriale fuori radice, la regola seguita non scritta è che si vogliono rappresentare i numeri tra 1 e 12 utilizzando esattamente tre volte una sola cifra tra 1 e 9 (in questo caso specifico la cifra 9), e qualsiasi simbolo matematico come operatore o come simbolo di rappresentazione numerica. Questo spiega 3 rappresentato come radice di 9 -9+9 e non come più semplicemente radice di 9 o radice nona della potenza nona di 9 per rappresentare 9. Purtroppo per rappresentare 1 non si è utilizzato tre volte il 9 ma solo due volte, cioè 9/9. Qui avrebbe dovuto rappresentarlo come 1-1+1, usando 1 come .9 periodico. Domanda: se invece del 9 avessimo usato un'altra cifra, ad esempio 4, saremmo stati in grado di ottenere lo stesso orologio seguendo la stessa regola?
A questo punto mi sono messo a cercare le relazioni e, con l'aiuto di Gianni per il 7, il 9 e l'11 ho prodotto il 4-ternologio.



Mi sono quindi posto le seguenti domanda: Ma il gioco riuscirà anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati? E si potrà trovare una regola generale?
E, in seguito a questa domanda, Gianni ha prodotto le seguenti regole generali: 1 2 5 10 e 11 sono sempre rappresentabili nella stessa forma per qualunque cifra x nel seguente modo.

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x
5 = x/(.x+.x)
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
La prima perché 1 elemento neutro rispetto al prodotto. La seconda per la proprietà associativa della somma. La terza anche e per la rappresentazione decimale. La quarta per la proprietà associativa del prodotto e per la rappresentazione decimale. La quinta per i criteri di divisibilità di un intero per 11.
E allora ho ridisegnato il 4-ternologio sostituendo le cifre delle regole generali.


Poi Gianni è riuscito anche a rispondere alla domanda se ci si può riuscire anche con cifre che non siano rappresentazioni decimali di quadrati
producendo le formule per il 3-ternologio.




Ci si è cimentati anche con il 2-ternologio arrivando alla conclusione che mancano il 7 e 9. Possiamo quindi formulare la congettura che sia impossibile creare un 2-ternologio. E per gli altri?
Se qualcuno si cimenterà nella produzione di altri n-ternologi o di qualche altra regola ternologica, ci faccia sapere.

Nota post-pubblicazione: Gianni ci fa sapere che anche il 9 si può scrivere con una qualsiasi cifra x come (x-.x)/.x, quindi anche il 3 come sua radice  e quindi anche il 6 come 3!
Ecco quindi la nuova lista da cui mancano ancora 4, 7, 8 e 12:

1 = √x×√x/x
2 = (x+ x)/ x

3 = √((x-.x)/.x)
4 = ?
5 = x/(.x+.x)
6 = (√((x-.x)/.x))!
7 = ?
8 = ?
9 = (x-.x)/.x
10 = √x×√x/.x
11=xx/x
12 = ?


Per il 2-ternologio manca quindi solo il 7. E alla fine una formula per il 7 sono riuscito a trovarla ma solo con l'utilizzo della parte intera: [cot 2]/(2x2)

Con la parte intera però si bara un po' perché tutto diventa molto più semplice. Qualcuno riesce a trovare una 2-ternoformula per il 7 senza usare la parte intera? Se non la si trova, visto che i casi sono finiti, ci si potrebbe cimentare nella dimostrazione dell'impossibilità di trovare il 7 per il 2-ternologio.

giovedì 13 agosto 2015

Quando i teologi si cimentano con la Logica Matematica

Ho appena letto Sandro Magister arruola Kurt Gödel di .mau. e lo volevo segnalare agli appassionati di logica e/o religione.
Per i curiosi non appassionati riporto questa citazione.
... penso converrete tutti che la moltiplicazione dei pani e dei pesci e il dogma della Trinità non valgono come “proprietà aritmetica di base”, il che significa che il teorema non può semplicemente essere applicato. Quanto al resto, mi sta anche bene che l’intelletto umano possa, voglia e debba uscire dalla natura per trovare le ragioni ultime che cerca nella soprannatura: ma di nuovo tutto questo non vuol dire che Gödel dovette uscire da un sistema logico coerente per dimostrare almeno una proposizione elaborata in quello stesso sistema logico. Gödel non è uscito da nessuna parte né ha “dimostrato” nulla, al più affermava che occorreva aggiungere la proposizione come assioma.

martedì 14 luglio 2015

Carnevale della Matematica #87: Matematica e rinascimento

Benvenuti all’ottantasettesima edizione del Carnevale della Matematica!
Carnevale la cui natura rimarrà inestricabilmente ed eternamente vincolata al numero 87. E allora il suo verso gaussiano non potrà che essere “il merlo becchetta”. È una questione di necessità. Così come la sua cellula melodica gaussiana dovrà essere la numero 87. Quella che era stata pensata per la metrica del testo originale: "Il merlo (che palle)"; e ascoltandola vi accorgete come la pausa musicale funzioni meglio se cantata con il vecchio testo.



Siete d'accordo? Bene. Ma ora forse mi chiederete: ma questo carnevale ce l'ha un tema? Certo che ce l'ha! Il tema è "Matematica e rinascimento". Che cosa si intende per "rinascimento"? Beh, lo potete intendere in tutti i suoi significati: etimologici e non. Fate un po' voi. Potrebbe essere interpretato come il Rinascimento storico, Il Rinascimento artistico, il rinascimento di un'idea, il rinascimento della divulgazione, o... il rinascimento della matematica. O qualsiasi altra interpretazione o non-interpretazione. Insomma, divertitevi voi a scovare il tema tra i contributi.

Ma ora passiamo alle proprietà del numero del carnevale. 87 ha come divisori 1, 3 e 29. E, visto che la loro somma è minore di 87, il numero viene detto difettivo. 87 è anche un numero di Ulam, dato che appartiene alla successione di Ulam (1, 2).
Esso, inoltre, non è la somma di due numeri primi ma è la somma dei quadrati dei primi quattro numeri primi.
In chimica, 87 è il numero atomico del francio (Fr). E la sfida correlata in questo caso potrebbe essere una bella caccia al tesoro con un premio di un milione di euro a chi riesca a procurarsi per primo 10 grammi di francio. Visto che la stima è che su tutta la Terra ne esistono circa 25 grammi, sarebbe anche interessante calcolare il tempo medio di ricerca per un uomo per trovare i fatidici 10 grammi. E, prima di passare alla carrellata di articoli, concludiamo con l'ultima proprietà del numero 87, che è quella assegnatagli dalla scientificissima Smorfia: "I pidocchi". E come non prendere per buon augurante un tale attributo?!

Ad aprire la parata c'è Davide Passaro che, da Math is in the Air, propone un'interessantissima discussione sulla divulgazione della matematica. Per tale discussione sono stati necessari due articoli che hanno coinvolto diversi autori dei blog matematico-divulgativi che conosciamo: Roberto NataliniPeppe LibertiMaurizio Codogno e Gianluigi Filippelli.
- In questo periodo si potrebbe dire che è in atto un vero
"Rinascimento" della divulgazione - dice Davide. - Alcune riflessioni su ciò bolle in pentola in questo campo le trovate in questo articolo dal titolo: Formalismo, metafore e rischio Kazzenger.
A questo articolo, si collega un successivo "metapost" che è la sintesi del dibattito nato in rete sulla divulgazione in seguito al precedente articolo. Il titolo è Ancora sulla divulgazione: il dibattito in rete fra zanzare, letteratura scientifica e psicologia.
Davide ci segnala anche un articolo sui sistemi di numerazione dal titolo
Numeri e numerazione: conta quel che ti piace dove Francesco Bonesi parla, fra le altre cose, di Fibonacci e del Liber Abaci. "Senza questo contributo" sottolinea Davide, "probabilmente non ci sarebbe stato il Rinascimento così come lo conosciamo".
"Chissà, invece, cosa avrebbero realizzato Leonardo, Donatello,
Michelangelo e Raffaello (a scanso di equivoci non ci riferiamo alla
tartarughe Ninja) se avessero avuto a loro disposizione la computer
graphic e avessero conosciuto la matematica delle curve di Bezier. In
questo post Fabio Peluso approfondisce queste curve e delle loro applicazioni nel mondo della grafica e delle animazioni:"
Curve di Bezier: approfondimenti con qualche animazione.
E per finire Davide ci segnala l'articolo dedicato ai Codici correttori di Errori in cui Daniele parla di come nelle comunicazioni è possibile rilevare e correggere un errore nella trasmissione dell'informazione.

Gianluigi Filippelli riallacciandosi alla precedente discussione sulla divulgazione della matematica di Math is in the Air ci propone Discussione sulla divulgazione. Tra le altre osservazioni interessanti Gianluigi sottolinea che "forse il vero punto da scardinare è il diffuso consenso sociale sul fatto che si possa essere totalmente ignoranti in matematica, o che possa bastare il saper fare di conto per sopravvivere."
Parole sante Gianluigi! Credo che tutti quelli che  apprezzano la matematica siano impegnati nella battaglia contro questa diffusa convinzione, in cui, nelle sue forme peggiori, il soggetto non solo afferma di aver sempre odiato la matematica ma se ne fa addirittura un vanto. E purtroppo atteggiamenti del genere si manifestano anche, o forse bisognerebbe dire soprattutto, tra persone con un livello di istruzione piuttosto alto.
Gianluigi ci manda anche Insegnare matematica come un gioco: recensione del libro/manuale "Basta compiti, adesso giochiamo" di Daniela Folcio per Scienza Express; e Piani catastrofici: una breve descrizione della teoria delle catastrofi, utilizzata in molti ambiti, dal comportamento animale alla finanza.

Spartaco Mencaroni ci manda:
Un oceano non misurabile di pace - Una dissertazione un po' scientifica, un po' filosofica - "e parecchio conigliesca" - su un libro che Spartaco sta leggendo, "L'uomo senza qualità" di Robert Musil.
Il tempo sacro e la matematica nel XIII secolo (o della velocità di fuga di Dio) Se vi dicessi che un frate domenicano del 1200 ha dissertato sullo spazio tempo, partendo da considerazioni mistiche, fino a rubacchiare qualcosa ad Einstein, forse pensereste che il Coniglio voglia invece rubare il mestiere a Giacobbo. Dio ce ne scampi! Ma solo se ne ha tempo, vista la velocità a cui si muove (per lo meno, da risorto) per lasciare il pianeta.


Pietro Vitelli, che lo scorso anno mi mandava un contributo sull'anamorfosi floreale contenente una dimostrazione incompleta delle formule per la realizzazione di un anamorfismo, quest'anno, puntuale come il Corpus Domini, per riprendere il discorso con un nuovo esperimento floreale, e con la dimostrazione “completa” del procedimento anamorfico, ci manda Anamorfosi – Il tassello mancante. E io, così come lo scorso anno, rimango totalmente affascinato da queste produzioni e sull'onda dell'ammirazione vorrei: riuscire a vederne una dal vivo; e, con probabilità di realizzazione molto più basa, riuscire a farne produrre una per l'infiorata del mio paese.

Michele Scarparo contribuisce con Dio non è morto, sta solo scappando, dove troviamo un'interessante ipotesi metafisica sui buchi neri.

Mauro Merlotti propone "un argomento estivo" parlando di ombrelloni e della loro curvatura: La Curvatura degli OmbrelloniSi parte da lontano, dai primi che hanno concepito la Trattrice. Poi si arriva alla pseudo-sfera e alle geometrie non euclidee. - Volendo si potrebbe approfondire molto di più i vari argomenti - dice Mauro - ma siamo d’estate e forse è meglio non esagerare - aggiunge poi.
Quindi, in extremis, aggiunge anche un altro post come appendice a quello precedente: 192. I Fiori di Avatar. Post in cui Mauro descrive brevemente la superficie di Dini e come questa ricordi i fiori del film Avatar.

Paolo Alessandrini partecipa con Gli enigmi di Coelum: Palomar Cubeche appartiene alla serie degli enigmi matematici pubblicati sulla rivista Coelum Astronomia. Questa volta è di scena un particolare problema relativo a un cubo 3x3x3.


.mau. manda i seguenti contributi dalle Notiziole:
- Una recensione dell'ebook di Roberto Lucchetti Teoria dei giochi (Uno sguardo a livello alto ma non troppo su questa branca della matematica).
- Due quizzini della domenica: Pioverà? e Monete.
- E le elucubrazioni di Ancora sulla storia naturale.
E questi dal Post:
Maturità 2015, luci e ombre : Ottima l'idea di avere un esempio pratico, meno buona quella di un quesito "facile" troppo generico.
Rompicapi più matematici di quanto sembri : Questi quizzini sono molto più interessanti dal punto di vista matematico e informatico di quanto possa sembrare a prima vista.
Sapete risolvere questo problema? Per trovare la soluzione a un problema è spesso importante sapere quali domande fare.
Russi e americani : Un quizzino dove occorre usare il cervello e non la memoria.

Alice, Rudy e Piotr così introducono gli articoli di Rudi Matematici:
- Ci sarebbe da raccontare di tutta la storia del tormentone generato dalle “evidenti ragioni di simmetria” regolarmente citate dai libri di testo, della conseguente repulsione di cotanta frase di uno di noi, e del sadico desiderio di un altro di tormentar col tormentone. Sia come sia, questo post comincia dalle finestre, e non è affatto detto che finisca con i portoni: (non troppo) Evidenti ragioni di Simmetria [1]: Finestre
- Ci sarebbe a dire che il problemuccio finito sulle pagine di carta di “Le Scienze” era apparentemente – ma solo apparentemente – di probabilità, ma poiché in realtà esso così non era, gli è facile immaginare qual putiferio ne sia venuto fuori, nel discuterlo: Il problema di giugno (562) - Un caso di probabilità casuale 
- E quindi si va a parlare dell’Hex, cioè del gioco di Piet Hein, che però è anche il gioco di John Nash, che però nessuno dei due lo chiamava così, e sì che però di esagoni parlavano tutti. Ne parliamo anche perché abbiamo un lettore estimatore che tanto vorrebbe discutere della scacchiera infinitamente infinita, con la regolarità esagonale proiettata nella pianura sterminata del piano, sia esso cartesiano o meno: Hex all'infinito
- E poi, solo per il rotto della cuffia il carnevale estivo riesce a conglomerare anche un compleanno, che in effetti è compleanno ardito assai, visto che parte dal 9 dopo Cristo a Teutoburgo. Dove Varo le prende di brutto da Arminio, e solo perché Teutoburgo è foresta, com'è foresta la Foresta Nera madre del Danubio, e pure quella di Sherwood piena di banditi generosi, e le foreste fanno spesso da frontiera, e poi sono verdi, e insomma, se si parla di frontiere e si cita il color verde, indovinare chi sia il destinatario del compleanno non sarà poi difficile… : Buon compleanno George
- Infine c'è il numero 198 della rivista Rudi Mathematici dove compare un altro Paraphernalia, un altro Compleanno, altri problemi, altre soluzioni... e anche un modello matematico molto peculiare.

Da Maddmaths! Roberto Natalini contribuisce con:
Alla caccia del "Monstrous Moonshine" (in compagnia di Ken Ono) - «Cos'è il "Monstrous Moonshine"? E la congettura "Umbral Moonshine"? Intanto c'è da sapere che l’inglese “to talk moonshine” è gergale per “dire sciocchezze” e quindi parlando di una congettura “moonshine”, siamo sicuri di avventurarci in un territorio ricco di imprevisti e di sorprese, e forse un tantino incerto. Il 4 marzo scorso, John F. R. Duncan, Michael J. Griffin, Ken Ono, hanno postato su ArXiv.org, un articolo dal titolo "Proof of the Umbral Moonshine Conjecture". Se ne è parlato molto, e abbiamo chiesto al collega Alessandro Veneziani, professore presso la Emory University, di intervistare per noi uno degli autori, Ken Ono, che insegna presso la stessa università. Ken Ono è un famoso studioso della teoria dei numeri, apprezzato per i suoi studi sulle partizioni intere e le forme modulari. Vi presentiamo in sequenza, l'audio della conversazione tra Veneziani e Ono, seguito dalla trascrizione in italiano del testo. Poiché ci sembrava che il problema non fosse ancora completamente accessibile a un pubblico non specialistico, trovate nel seguito un commento-spiegazione di Alessandro D'Andrea, professore alla Sapienza Università di Roma. Buon viaggio!»
- Ripetizioni. Puntata 4: "Calcolatrice" - Anche se è estate, continuano le ripetizioni di Davide Palmigiani in cui si gioca con la calcolatrice.
- Un pomeriggio di matematica a Roma Tor Vergata con Louis Nirenberg
Il 26 giugno, l'Università degli Studi di Roma "Tor Vergata" ha ospitato Louis Nirenberg, per celebrare il Premio Abel 2015 (vinto con il recentemente scomparso John Nash) e festeggiare i suoi 90 anni. MaddMaths! ha realizzato un breve filmato dell'evento.
La matematica umida dell'evoluzione #6 American Museum of Natural History
Continua implacabile il viaggio allucinante di Davide Palmigiani nella matematica umida dell'evoluzione. Questa volta si cerca di ragionare sulle dimensioni di King Kong (e non solo...).
La matematica della pelle dello squalo
Luglio è il mese degli squali ad Emory (Atlanta,USA). Celebriamo queste creature che da 450 milioni di anni nuotano negli oceani e che hanno evoluto delle caratteristiche straordinarie parlandone con Alessandro Veneziani, matematico all'Università di Emory.

Roberto Zanasi manda due articoli con quasi lo stesso titolo
Di altalene, molle e vasche da bagno - attriti, che introduce l'argomento.
Di altalene, molle e vasche da bagno - oscillazioni, che comincia a parlare di oscillazioni. Roberto ci fa anche sapere che la serie continuerà dopo il carnevale.

Ed ecco anche i due contributi dal blog Popinga, l'ospite del prossimo carnevale, il numero 88, quello di agosto; che, contrariamente a quanto comunicato in precedenza, avrà tema libero.
Indagine sull’assassino di Galois
Del celebre duello del 30 maggio 1832 in seguito al quale morì Évariste Galois, acceso militante repubblicano e non ancora ventunenne, si è scritto molto, soprattutto sulle cause (questioni di cuore, ma si è parlato anche di omicidio politico). Poco invece si è scritto sull’avversario, del quale persino le generalità sono rimaste a lungo incerte.
- Il ritratto sbagliato di Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752–1833) era una persona estremamente riservata e non sorprende che si conoscano pochi dettagli della sua giovinezza. Più sorprendente, quasi incredibile, è il fatto che per quasi cent’anni, fino al 2005, ci si sia sbagliati sulle sue fattezze. Il famoso ritratto che ha accompagnato articoli, saggi, voci di enciclopedie sull’opera di Legendre per tutto questo tempo non è infatti il suo.

Da Matetango Annalisa manda i suo Tartaglia e la "poesia" rubata.
Questo post nasce dalla lettura di una "poesia" davvero speciale - ci dice Annalisa - forse una delle più belle poesie matematiche dedicate a una equazione. È prendendo spunto da una pubblicità dell'ENI, che, citando un fantomatico "codice" di Fibonacci le ha ricordato l'opera al neon di Mario Merz per la metropolitana Vanvitelli di Napoli, e, ricordando quella formidabile poesia riportata in un libro avvincente che parlava del duello matematico tra Tartaglia e Cardano, che Annalisa scrive questo post. E a tal proposito mi permetto anche di citare la mia trilogia di qualche anno fa su Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese.

E infine il mio contributo. Lo sapevate che Maurolico fu il primo a usare il principio d'induzione circa tre secoli prima di Robert Grassmann e di Peano!? - I progressi della geometria nel XVI sec.
Per quanto riguarda il tema del carnevale potete anche guardarvi le vecchie puntate storiche dedicate al Rinascimento.

Concludo ricordandovi che la prossima edizione, la numero 88 del 14 agosto 2015, quella che come verso gaussiano ha “canta all'alba, canta, canta”, verrà ospitata da Popinga. E il suo tema, contrariamente a quanto comunicato in precedenza, sarà libero. 
Quale sarà la sua cellula melodica gaussiana? Lo scopriremo solo tra un mese. A presto!


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domenica 12 luglio 2015

I progressi della geometria nel XVI sec. - Numeri e Geometria attraverso la storia

Nella puntata precedente si è parlato dei nuovi rapporti sviluppatisi durante il Rinascimento (sec. XIV-XV) tra la geometria e le arti figurative. Ma, oltre che nelle arti figurative, la matematica durante il Rinascimento trovò applicazione in molte altre aree: dalla cartografia all'agrimensura, dai libri di conto all'ottica, fino alla meccanica.1 Inoltre, coerentemente con lo spirito del tempo, l'interesse per le opere classiche dell'antichità continuò a essere molto forte.
In particolare, Maurolico (1494 – 1575), un prete messinese di origine greca, matematico e geometra molto dotto, contribuì notevolmente a ravvivare l'interesse per le opere avanzate dell'antichità. Tra l'altro Maurolico fu probabilmente il primo a usare il principio d'induzione (per dimostrare che la somma dei primi n numeri dispari è eguale al quadrato di n) circa tre secoli prima di Robert Grassmann e di Peano; e "collaborò con lo scultore Giovanni Angelo Montorsoli nella realizzazione di due delle più belle fontane monumentali del Cinquecento (quella di Orione e quella del Nettuno)".
Maurolico tentò addirittura di ricostruire il Libro V delle Coniche di Apollonio, allora perduto, basandosi su indicazioni contenute nel lavoro di Pappo. In tal modo egli inaugurò quello che negli anni diventerà una moda: la ricostruzione sia delle opere perdute in generale sia, in particolare, degli ultimi quattro libri delle Coniche di Apollonio.
Avendo inoltre studiato metodi per la misurazione della Terra Maurolico "fornì le carte geografiche alla flotta cristiana in partenza dal porto di Messina per la Battaglia di Lepanto".
Per quanto riguarda invece la geometria si può dire che fino alla prima metà del XVI secolo essa fece riferimento quasi esclusivamente alle proprietà elementari descritte da Euclide poiché ben pochi matematici avevano familiarità con la geometria di Archimede, Apollonio, e Pappo. Le traduzioni latine di queste opere divennero infatti disponibili solo a partire dalla metà del secolo e, prevalentemente, grazie proprio a Maurolico. Ma anche altri contribuirono al lavoro di traduzione.
Ad esempio, l'urbinate Federico Commandino (1509 – 1575), che, oltre a essere in corrispondenza con Maurolico, tradusse opere di Archimede, di Aristarco da Samo, di Pappo di Alessandria (in particolare la "Collectiones mathematicae" che era rimasta sconosciuta persino ai matematici islamici), di Euclide (tradotto anche in italiano) e i primi quattro libri delle Coniche di Apollonio (ebbene sì, li tradusse anche lui). E Tartaglia che, come avevamo già detto in Cardano, Tartaglia, del Ferro e le formule contese, nel 1543 fece stampare una traduzione archimedea altrui spacciandola per propria.
Dopo la morte di Maurolico (1575) la geometria non conobbe grossi sviluppi per più di 50 anni e, fino all'arrivo di Cartesio, la matematica si sviluppò in diverse altre aree. Di questo cominceremo a parlare nella prossima puntata partendo dall'introduzione di nuovi simboli.