giovedì 1 febbraio 2018

What is Mathematics, Really? di Reuben Hersh - numeri raggiungibili, formalismo e platonismo

L'ultima volta ho riportato il brano in cui Reuben Hersh si chiedeva se fosse possibile che solo noi matematici potessimo essere consapevoli di una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino.

Oggi riporto un brano in cui l'autore spiega le differenze tra "numeri raggiungibili1" e numeri puri.

«La matematica è fatta di concetti e non di segni di matita o di gesso, né di triangoli fisici né di insiemi fisici. È fatta di concetti, che possono essere ispirati a o rappresentati da oggetti fisici. Nel recensire The Mathematical Experience, il matematico e divulgatore Martin Gardner sollevò questa obiezione: quando due dinosauri dell'era Giurassica incontrarono altri due dinosauri che sguazzavano allegramente nella stessa pozza d'acqua, in tutto la pozza d'acqua conteneva quattro dinosauri, anche se non era presente alcun umano che potesse pensare, "2 + 2 = 4". Questo dimostra, dice Gardner, che 2 + 2 fa veramente 4 nella realtà e non solo nelle coscienze culturali umane. 2 + 2 = 4 è una legge della natura, dice, indipendente dal pensiero umano.

Per cercare di dirimere questa questione, dobbiamo cercare di capire che "2" gioca due ruoli linguistici. A volte è un aggettivo e a volte è un nome.
In "due dinosauri", "due" è un aggettivo collettivo. La frase "Due dinosauri più due dinosauri equivalgono a quattro dinosauri" parla di dinosauri. Se dico "Due oggetti discreti non interagenti insieme ad altri due oggetti discreti non interagenti fa quattro di questi oggetti", sto dicendo parte di ciò che si intende per oggetti discreti non interagenti. E questa è un'affermazione nel dominio della fisica elementare. Quindi, per quanto riguarda gli oggetti discreti e non interagenti, l'esperienza ci dice che 2 + 2 = 4.

Al contrario, "Due è primo ma quattro è composto" è un'affermazione sui numeri puri dell'aritmetica elementare. Ora "due" e "quattro" sono nomi, non aggettivi. Rappresentano numeri puri, che sono concetti e oggetti. Sono oggetti concettuali, condivisi da tutti coloro che conoscono l'aritmetica elementare, descritti da assiomi e teoremi.

I numeri raggiungibili1 sono finiti. C'è un limite oltre il quale nessuno potrà mai contare. Eppure non esiste un ultimo numero. Se contassi fino a, diciamo, un miliardo, allora potrei contare fino a un miliardo e uno. Nell'aritmetica discreta, queste due proprietà - finitezza, e assenza di massimo - sono contraddittorie. Questo dimostra che i numeri raggiungibili non sono numeri puri. Consideriamo, ad esempio, il numero puro 10^(1010). Possiamo facilmente enunciare alcune delle sue proprietà, come, ad esempio: "Gli unici fattori primi di 10^(1010) sono 2 e 5." Ma non possiamo raggiungere quel numero contando. In tal senso, non esiste un numero raggiungibile uguale a 10^(1010). Thomas William Körner propose la stessa distinzione, usando le lettere maiuscole per i numeri raggiungibili (aggettivi) e le lettere minuscole per i numeri naturali "puri" (nomi). Jacob Klein scrisse che una distinzione simile fu proposta dai greci, che usavano le loro parole "arithmos" e "logistiké". Quindi "due" e "quattro" hanno due significati: quello di numeri raggiungibili e quello di numeri puri. Quindi, la formula 2 + 2 = 4 ha un doppio significato. Ha a che fare con il contare, cioè su come si comportano gli oggetti discreti non interagenti; ma è anche un teorema di aritmetica pura (aritmetica di Peano, ad esempio).
Questa ambiguità linguistica confonde la differenza tra i numeri raggiungibili e i numeri naturali puri. Il concetto di numero puro è un'astrazione del concetto di numero raggiungibile. Attravero un'astrazione aristotelica, i numeri puri si astraggono dagli oggetti "reali" per generarsi come concetti condivisi nelle menti delle persone che conoscono l'aritmetica elementare. In quel dominio di concetti condivisi, 2 + 2 = 4 è un oggetto diverso con un significato diverso. Dopodiché possiamo mostrare che esso consegue logicamente da altri concetti condivisi, che solitamente chiamiamo assiomi. La filosofia platonica maschera questa modalità di esistenza sociale attraverso un mito di "concetti astratti".»

1. Reuben Hersh usa l'espressione “counting numbers”. Ho discusso con .mau. come tradurre il concetto in italiano e .mau. ha proposto "numeri raggiungibili". Quello che conta per Hersh è "il processo di contare", quindi la possibile alternativa di "numeri esprimibili" non funzionerebbe, visto che (10^(10^10)) è esprimibile (lo abbiamo appena espresso). Purtroppo con "numeri raggiungibili" si perde il doppio significato di "numeri importanti", "numeri che contano" ma spesso le traduzioni non riescono a mantenere intatte tutte le sfumature semantiche.



Di seguito riporto altri brani di Reuben Hersh sulla visione pitago-platonica della matematica. Sempre in una mia libera traduzione.

"Il platonismo senza Dio è come il sorriso sul gatto di Lewis Carroll. Il gatto aveva un sorriso. A poco a poco il gatto è scomparso, tranne il sorriso: è rimasto solo il sorriso senza il gatto."

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"La ricerca o la soluzione di problemi, anche a livello elementare, genera un platonismo ingenuo e acritico. Durante le lezioni di matematica, eccezion fatta per alcuni pasticcioni, tutti devono produrre la stessa risposta! È per questo che la matematica è speciale. Esistono le risposte giuste. E non perché quelle sono le risposte che l'insegnante vuole sentire. Sono giuste perché sono giuste. Questa universalità, questa indipendenza dagli individui, fa sembrare la matematica immateriale, inumana. Il platonismo del matematico ordinario o dello studente ordinario è un riconoscimento che i fatti della matematica sono indipendenti dai desideri dell'insegnante. Questa è la qualità che rende la matematica eccezionale. Eppure la maggior parte di questo platonismo è pedissequo. Non ci chiediamo mai, come si relaziona alla realtà materiale questo regno immateriale? Come entra in contatto con i matematici?"

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"Si ritiene che l'universo delle teoria degli insiemi, costruito da Cantor e generalmente adottato dai matematici platonici, includa tutte le matematiche, passate, presenti e future. In esso, l'insieme innumerabile dei numeri reali è solo l'inizio di innumerabili catene di innumerabili. La cardinalità di questo universo di insiemi è indicibilmente più grande di quella del mondo materiale. Declassa l'universo materiale a un minuscolo puntino. E tutto era già lì prima che ci fosse la Terra, la Luna e il Sole, persino prima del Big Bang. Eppure questa tremenda realtà passa inosservata! L'umanità, tranne noi matematici, ne è totalmente inconsapevole. Noi soli lo notiamo. Ma solo da quando Cantor lo rivelò nel 1890. È plausibile? È credibile? Roger Penrose si dichiara platonico, ma pone un limite nell'accettazione dell'intera gerarchia insiemistica."

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"È possibile che solo noi matematici notiamo una realtà che declasserebbe l'universo materiale a un minuscolo puntino?"

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